Parabole passant par trois points

Un exercice classique dans ce chapitre est de retrouver l'équation d'une parabole à partir de 3 points par lesquels elle passerait. En mathématique, trouver l'équation d'une courbe passant par plusieurs points s'appelle un problème d'interpolation.

Par exemple, pour 3 points donnés, il faudra retrouver l'expression de la fonction $f(x)=ax^2 + b x + c$. Les inconnues du problème sont $a$, $b$ et $c$ : il va falloir résoudre un système d'équations à 3 inconnues !!

Ca peut effrayer dit comme ça... mais si on connaît bien les méthodes présentées après, la plupart du temps on s'en tire avec une quantité de calcul... modérée. Pour celà il faudra utiliser la forme la mieux adaptée. Par exemple, si j'utilise la forme factorisée $f(x) = a (x - x_1)(x - x_2)$ au bon moment, le problème sera résolu avec une seule petite équation. Au boulot...

On peut utiliser la forme factorisée quand l'énoncé nous donne deux points sur l'axe des abscisses, c'est à dire deux racines $x_1$ et $x_2$ : Déterminer l'équation d'une parabole, sous forme d'un polynôme du second degré, passant par les points
$M ($, $0)$, $N ($, $0)$ et $P ($ , $)$

On peut utiliser la forme canonique quand l'énoncé nous donne le sommet de la parabole (de coordonnées $\alpha$ et $\beta$) :

Soit $f$ un polynôme du second degré tel que la courbe représentative a pour sommet $A ($, $)$ et passe par le point $B ($, $)$.

Déterminer la forme canonique de $f$.

Dans tout autre cas, on utilisera la forme développée. Ca sera un peu moins simple car il faudra résoudre un système d'équations à 2 inconnues. N'hésitez pas à vous entraîner à résoudre des systèmes à deux inconnues si vous avez perdu l'habitude : Déterminer l'équation d'une parabole, sous forme d'un polynôme du second degré, passant par les points
$M ($, $)$, $N ($, $)$ et $P (0, $$)$